四年級(jí)奧數(shù)基礎(chǔ)第十七講：數(shù)陣圖（二）

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　　四年級(jí)奧數(shù)基礎(chǔ)第十七講：數(shù)陣圖（二）

　　例1　在下圖的九個(gè)方格中填入不大于12且互不相同的九個(gè)自然數(shù)（其中已填好一個(gè)數(shù)），使得任一行、任一列及兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于21。

   

　　解：由上一講例4知中間方格中的數(shù)為7。再設(shè)右下角的數(shù)為x，然后根據(jù)任一行、任一列及每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于21，如下圖所示填上各數(shù)（含x）。

   

　　因?yàn)榫艂�(gè)數(shù)都不大于12，由16－x≤12知4≤x，由x+2≤12知x≤10，即4≤x≤10�？紤]到5，7，9已填好，所以x只能取4，6，8或10。經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)x＝6或8時(shí)，九個(gè)數(shù)中均有兩個(gè)數(shù)相同，不合題意；當(dāng)x＝4或10時(shí)可得兩個(gè)解（見(jiàn)下圖）。這兩個(gè)解實(shí)際上一樣，只是方向不同而已。

   

　　例2　將九個(gè)數(shù)填入右圖的空格中，使得每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等，則一定有

   

　　證明：設(shè)中心數(shù)為d。由上講例4知每行、每列、每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都等于3d。由此計(jì)算出第一行中間的數(shù)為2d--b，右下角的數(shù)為2d-c（見(jiàn)下圖）。

   

　　根據(jù)第一行和第三列都可以求出上圖中★處的數(shù)由此得到

　　3d-c-（2d-b）＝3d-a-（2d-c），

　　3d-c-2d＋b＝3d-a-2d＋c，

　　d--c＋b＝d--a＋c，

　　2c＝a＋b，

　　a＋b

　　c＝2。

　　值得注意的是，這個(gè)結(jié)論對(duì)于a和b并沒(méi)有什么限制，可以是自然數(shù)，也可以是分?jǐn)?shù)、小數(shù)；可以相同，也可以不同。

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