四年級(jí)奧數(shù)基礎(chǔ)第十六講：數(shù)陣圖（一）
來(lái)源：大連奧數(shù)網(wǎng)整理 2012-02-07 16:23:55
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四年級(jí)奧數(shù)基礎(chǔ)第十六講：數(shù)陣圖（一）
我們?cè)谌昙?jí)已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)輻射型和封閉型數(shù)陣，其解題的關(guān)鍵在于“重疊數(shù)”。本講和下一講，我們學(xué)習(xí)三階方陣，就是將九個(gè)數(shù)按照某種要求排列成三行三列的數(shù)陣圖，解題的關(guān)鍵仍然是“重疊數(shù)”。我們先從一道典型的例題開(kāi)始。
例1 把1～9這九個(gè)數(shù)字填寫(xiě)在右圖正方形的九個(gè)方格中，使得每一橫行、每一豎列和每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等。
分析與解：我們首先要弄清每行、每列以及每條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)字之和是幾。我們可以這樣去想：因?yàn)?～9這九個(gè)數(shù)字之和是45，正好是三個(gè)橫行數(shù)字之和，所以每一橫行的數(shù)字之和等于45÷3=15。也就是說(shuō)，每一橫行、每一豎列以及每條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)字之和都等于15。
在1～9這九個(gè)數(shù)字中，三個(gè)不同的數(shù)相加等于15的有：
9＋5＋1，9＋4＋2，8＋6＋1，8＋5＋2，
8＋4＋3，7＋6＋2，7＋5＋3，6＋5＋4。
因此每行、每列以及每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字可以是其中任一個(gè)算式中的三個(gè)數(shù)字。
因?yàn)橹行姆礁裰械臄?shù)既在一個(gè)橫行中，又在一個(gè)豎列中，還在兩對(duì)角線上，所以它應(yīng)同時(shí)出現(xiàn)在上述的四個(gè)算式中，只有5符合條件，因此應(yīng)將5填在中心方格中。同理，四個(gè)角上的數(shù)既在一個(gè)橫行中，又在一個(gè)豎列中，還在一條對(duì)角線上，所以它應(yīng)同時(shí)出現(xiàn)在上述的三個(gè)算式中，符合條件的有2，4，6，8，因此應(yīng)將2，4，6，8填在四個(gè)角的方格中，同時(shí)應(yīng)保證對(duì)角線兩數(shù)的和相等。經(jīng)試驗(yàn)，有下面八種不同填法：
上面的八個(gè)圖，都可以通過(guò)一個(gè)圖的旋轉(zhuǎn)和翻轉(zhuǎn)得到。例如，第一行的后三個(gè)圖，依次由第一個(gè)圖順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，180°，270°得到。又如，第二行的各圖，都是由它上面的圖沿豎軸翻轉(zhuǎn)得到。所以，這八個(gè)圖本質(zhì)上是相同的，可以看作是一種填法。
例1中的數(shù)陣圖，我國(guó)古代稱為“縱橫圖”、“九宮算”。一般地，將九個(gè)不同的數(shù)填在3×3（三行三列）的方格中，如果滿足每個(gè)橫行、每個(gè)豎列和每條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等，那么這樣的圖稱為三階幻方。
在例1中如果只要求任一橫行及任一豎列的三數(shù)之和相等，而不要求兩條對(duì)角線上的三數(shù)之和也相等，則解不唯一，這是因?yàn)樵诶?的解中，任意交換兩行或兩列的位置，不影響每行或每列的三數(shù)之和，故仍然是解。
例2 用11，13，15，17，19，21，23，25，27編制成一個(gè)三階幻方。
分析與解：給出的九個(gè)數(shù)形成一個(gè)等差數(shù)列，對(duì)照例1，1～9也是一個(gè)等差數(shù)列。不難發(fā)現(xiàn)：中間方格里的數(shù)字應(yīng)填等差數(shù)列的第五個(gè)數(shù)，即應(yīng)填19；填在四個(gè)角上方格中的數(shù)是位于偶數(shù)項(xiàng)的數(shù)，即13，17，21，25，而且對(duì)角兩數(shù)的和相等，即13＋25=17＋21；余下各數(shù)就不難填寫(xiě)了（見(jiàn)右圖）。
與幻方相反的問(wèn)題是反幻方。將九個(gè)數(shù)填入3×3（三行三列）的九個(gè)方格中，使得任一行、任一列以及兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和互不相同，這樣填好后的圖稱為三階反幻方。
例3 將前9個(gè)自然數(shù)填入右圖的9個(gè)方格中，使得任一行、任一列以及兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)之和互不相同，并且相鄰的兩個(gè)自然數(shù)在圖中的位置也相鄰。
分析與解：題目要求相鄰的兩個(gè)自然數(shù)在圖中的位置也相鄰，所以這9個(gè)自然數(shù)按照大小順序在圖中應(yīng)能連成一條不相交的折線。經(jīng)試驗(yàn)有下圖所示的三種情況：
按照從1到9和從9到1逐一對(duì)這三種情況進(jìn)行驗(yàn)算，只有第二種情況得到下圖的兩個(gè)解。因?yàn)榈诙N情況是螺旋形，故本題的解稱為螺旋反幻方。
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