四年級奧數(shù)基礎第十六講：數(shù)陣圖（一）(2)

　　例4 將九個數(shù)填入左下圖的九個空格中，使得任一行、任一列以及兩條對角線上的三個數(shù)之后都相等。

   

　　證明：因為每行的三數(shù)之和都等于k，共有三行，所以九個數(shù)之和等于3k。如右上圖所示，經(jīng)過中心方格的有四條虛線，每條虛線上的三個數(shù)之和都等于k，四條虛線上的所有數(shù)之和等于4k，其中只有中心方格中的數(shù)是“重疊數(shù)”，九個數(shù)各被計算一次后，它又被重復計算了三次。所以有

　　九數(shù)之和+中心方格中的數(shù)×3=4k，

　　3k+中心方格中的數(shù)×3=4k，

   

　　注意：例4中對九個數(shù)及定數(shù)k都沒有特殊要求。這個結論對求解3×3方格中的數(shù)陣問題很實用。

　　在3×3的方格中，如果要求填入九個互不相同的質(zhì)數(shù)，要求任一行、任一列以及兩條對角線上的三個數(shù)之和都相等，那么這樣填好的圖稱為三階質(zhì)數(shù)幻方。

　　例5 求任一列、任一行以及兩條對角線上的三個數(shù)之和都等于267的三階質(zhì)數(shù)幻方。

　　分析與解：由例4知中間方格中的數(shù)為267÷3＝89。由于在兩條對角線、中間一行及中間一列這四組數(shù)中，每組的三個數(shù)中都有89，所以每組的其余兩數(shù)之和必為267-89＝178。兩個質(zhì)數(shù)之和為178的共有六組：

　　5+173＝11＋167

　�。�29＋149＝41＋137

　　＝47+131＝71+107。

　　經(jīng)試驗，可得右圖所示的三階質(zhì)數(shù)幻方。

   

　　練習16

　　1.將九個連續(xù)自然數(shù)填入3×3的方格內(nèi)，使得每一橫行、每一豎列及兩條對角線上的三個數(shù)之和都等于66。

　　2.將1，3，5，7，9，11，13，15，17填入3×3的方格內(nèi)，使其構成一個幻方。

　　3.用2，4，6，12，14，16，22，24，26九個偶數(shù)編制一個幻方。

　　4.在下列各圖空著的方格內(nèi)填上合適的數(shù)，使每行、每列及每條對角線上的三數(shù)之和都等于27。

   

　　5.將右圖中的數(shù)重新排列，使得每行、每列及兩條對角線上的三個數(shù)之和都相等。

   

　　6.將九個質(zhì)數(shù)填入3×3的方格內(nèi)，使得每一橫行、每一豎列及兩條對角線上的三個數(shù)之和都等于21。

　　7.求九個數(shù)之和為657的三階質(zhì)數(shù)幻方。